APLICACIÓN DE LA "INTEGRACIÓN" EN LA ARQUITECTURA

ANTIDERIVADAS O PRIMITIVAS E INTEGRACIÓN INDEFINIDA

Antiderivada o primitiva

Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo I si F '(x) = f(x) para todo x en I.

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en un intervalo I si y solo si G es de la forma G(x) = F(x) + C para todo x en I donde C es una constante.

Notación para antiderivadas o primitivas 

Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma 

dy/dx= f(x) 

es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente

dy= f(x) dx

La solución general se denota mediante:

Reglas basicas de integración 

La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse sustituyendo F '(x) por f(x) en la definición de integración indefinida para obtener

Además si la antiderivada de f(x) dx= F(x) + C entonces:

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

Reconocimiento de patrones
El papel de la sustitución en la integración es comparable a la regla de la cadena en la derivación. Recordar que para funciones derivables dadas por y=f(u) y u= g(x) la regla de la cadena establece que

De acuerdo con la definición de antiderivada o primitiva se  sigue

Antiderivación de una función compuesta
Sea g una función cuyo recorrido o rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es derivable en su dominio y F es una antiderivada o primitiva de f en I entonces:

Si u= g(x) entonces du= g '(x) dx y

INTEGRACIÓN POR PARTES
Integración por partes
La integración por partes esta basada en la formula para la derivada de un producto

donde u y v son funciones derivables de x. si u' y v' son continuas se pueden integrar ambos lados de esta ecuación para obtener

Teorema de la integración por partes
Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas entonces

Estrategia para integración por partes
1. Intentar tomar como dv la porción mas complicada del integrado que se ajusta a una regla basica de integración y como u el factor restante del integrado.
2. Intentar tomar como u la porción del integrado cuya derivada es una función mas simple que u, y como dv el factor restante del integrado.
Observe que dv siempre incluye dx del integrado original.

APLICACIÓN DE LA "DERIVADA" EN LA ARQUITECTURA

LA DERIVADA COMO PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE

Supongamos que la curva C es el gráfico de la función y= f(x).
Si P= (a, f(a)) es un punto de la curva C y Q es un punto de la curva distinto de P; entonces el punto Q tiene abscisa x= a + h, donde h es algun numero distinto de cero. Si h > 0, Q cae a la dereha de P y si h < 0, Q cae a la izquierda de P.
La y coordenada de Q es y= f(a+h), de manera que el punto Q tiene coordenadas Q(a+h, f(a+h)).

Definición (de recta tangente a una curva) Dada la curva y= f(x), la recta tangente a la curva en el punto P (a, f(a)) es aquella recta que pasa por el punto P y cuya curva pendiente es el numero:

el número mtan también se denomina pendiente de la curva y= f(x) en el punto P(a, f(a)).
La ecuacion de la recta tangente a la curva  y= f(x) en el punto P(a, f(a)) es:

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 

Definición (de derivada) La derivada de una función f con respecto a x es la función f`definida por la regla

DERIVACIÓN DE FUNCIONES ELEMENTALES
Derivada de la función constante Si c es un numero real; entonces:

Teorema (derivada de la función potencia - versión general) Si n es un numero real cualquiera entonces:

Derivada de la función exponencial Si x es un numero real y a es un numero positivo; entonces:

Derivada de la función logarítmica Si x> 0 y a es un número positivo; entonces:

ALGEBRA DE DERIVADAS
Derivada del producto de una constante por una función Si f es una función derivable, c es una constante y g es la función definida por g(x)= c* f(x); entonces.

el factor constante se puede sacar fuera del signo de la derivada
Si f(x)= cXⁿ donde n es un entero positivo y c una constante entonces:

Derivada de la suma y la diferencia de funciones Si u y v son funciones derivables y f es la función definida por f(x)= u(x) + v(x) y g(x)= u(x) - v(x); entonces:

La derivada de una suma (diferencia) de dos funciones derivables es igual a la suma (diferencia) de sus derivadas.
Derivada del producto de dos funciones Si u y v sn funciones derivables y f es la función definidad por f(x)= u(x) * v(x) y si las derivadas u'(x) y v'(x) existen; entonces:

La derivada de un producto de dos funciones derivables es igual a la primera función por la derivada de la segunda función mas la segunda función por la derivada de la primera.
siempre debemos tener en cuenta que la derivación de un producto de funciones no se cumple que

Derivada del cociente de dos funciones Si u y v son funciones derivables y si f es una función definida po f(x)= u(x)/v(x) donde v(x)≠ 0; entonces: si u'(x) y v'(x) existen

La derivada de un cociente de dos funciones es la fracción que tiene como denominador el cuadrado del denominador y como numerador el producto del denominador por la derivada del numerador menos el producto del numerador por la derivada del denominador si estas derivadas existen.
LA REGLA DE LA CADENA
Derivada de la función compuesta Si f y g son funciones derivables, entonces la función compuesta y= fog es una función derivable con

Si y= uⁿ   donde u es una función derivable de x, entonces:

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Derivadas de las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas directas son derivables en todo punto de su dominio y sus derivadas son:

Al  combinar la regla de la cadena y las formulas de derivación de las funciones trigonométricas se tienen el resultado siguiente:

Si u es una función derivable de x; entonces:

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS 

MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN

Definición (de función decreciente)  Una función f es decreciente en un intervalo I de su dominio si para cada par de elementos x1 x2 de I con x1 < x2 se tiene f(x1) >f(x2).

Definición (de función creciente) Una función f es creciente en un intervalo I de su dominio si para cada par de elementos x1 x2 de I con x1<x2 se tiene f(x1) < f(x2).

MÁXIMOS Y MÍNIMOS 

Criterio de la primera derivada para determinar extremos relativos

Por extremo relativo entendemos un máximo relativo y un mínimo relativo.

Los puntos en los que existe un extremo relativo tienen la siguiente característica:

Si y= f(x) tiene un extremo relativo en a; entonces, su derivada es igual a cero; f'(a)= 0

Concavidad del gráfico de una función

La segunda derivada 

Si y= f(x) es una función derivable entonces su derivada f '(x) tambien es una función por tanto podemos derivar nuevamente a f '(x) y conseguimos una nueva función que se llamara segunda derivada de f(x) y que se designa por el simbolo y'' o f ''(x).

Criterios para determinar la concavidad de una función Sea f una función que tiene segunda derivada Consideremos el punto x= c entonces:

1. si f ''(c) > 0 el grafico de f es cóncavo hacia arriba en (c, f(c)) 

2. si f ''(c) < 0 el gráfico de f es cóncavo hacia abajo en (c, f(c))

Definición (de punto de inflexión)  El punto (a, f(a)) se denomina punto de inflexión del gráfico de la función f si en ese punto cambia el sentido de la concavidad de la curva.