Antiderivada o primitiva
Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo I si F '(x) = f(x) para todo x en I.
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en un intervalo I si y solo si G es de la forma G(x) = F(x) + C para todo x en I donde C es una constante.
Notación para antiderivadas o primitivas
Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma
dy/dx= f(x)
es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente
dy= f(x) dx
La solución general se denota mediante:
Reglas basicas de integración
La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse sustituyendo F '(x) por f(x) en la definición de integración indefinida para obtener
Además si la antiderivada de f(x) dx= F(x) + C entonces:
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
Reconocimiento de patrones
El papel de la sustitución en la integración es comparable a la regla de la cadena en la derivación. Recordar que para funciones derivables dadas por y=f(u) y u= g(x) la regla de la cadena establece que
De acuerdo con la definición de antiderivada o primitiva se sigue
Antiderivación de una función compuesta
Sea g una función cuyo recorrido o rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es derivable en su dominio y F es una antiderivada o primitiva de f en I entonces:
Si u= g(x) entonces du= g '(x) dx y
INTEGRACIÓN POR PARTES
Integración por partes
La integración por partes esta basada en la formula para la derivada de un producto
donde u y v son funciones derivables de x. si u' y v' son continuas se pueden integrar ambos lados de esta ecuación para obtener
Teorema de la integración por partes
Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas entonces
Estrategia para integración por partes
1. Intentar tomar como dv la porción mas complicada del integrado que se ajusta a una regla basica de integración y como u el factor restante del integrado.
2. Intentar tomar como u la porción del integrado cuya derivada es una función mas simple que u, y como dv el factor restante del integrado.
Observe que dv siempre incluye dx del integrado original.
El papel de la sustitución en la integración es comparable a la regla de la cadena en la derivación. Recordar que para funciones derivables dadas por y=f(u) y u= g(x) la regla de la cadena establece que
Sea g una función cuyo recorrido o rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es derivable en su dominio y F es una antiderivada o primitiva de f en I entonces:
INTEGRACIÓN POR PARTES
Integración por partes
La integración por partes esta basada en la formula para la derivada de un producto
Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas entonces
1. Intentar tomar como dv la porción mas complicada del integrado que se ajusta a una regla basica de integración y como u el factor restante del integrado.
2. Intentar tomar como u la porción del integrado cuya derivada es una función mas simple que u, y como dv el factor restante del integrado.
Observe que dv siempre incluye dx del integrado original.
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